حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

القطع الزائد

القطع الزائد: هي مجموعة النقط في المستوي التي تكون القيمة المطلقة لفرق بعدي أي منها عن نقطتين ثابتتين (البؤرتان) يساوي عدداً ثابتاً $(2 a)$

حسب التعريف $| P F_{1} - P F_{2} | = 2 a$

الشكل

معادلة قطع زائد بؤرتاه سينيتان والمركز نقطة الأصل $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

معادلة قطع زائد بؤرتاه صاديتان والمركز نقطة الأصل

جدول يبين مفردات القطع الزائد في الحالتين:

القطع الزائد	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المعادلة
	$\begin{matrix} F_{1} (c, 0) \\ F_{2} (- c, 0) \end{matrix}$	$\begin{matrix} V_{1} (a, 0) \\ V_{2} (- a, 0) \end{matrix}$	$\begin{matrix} (0, b) \\ (0, - b) \end{matrix}$	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
	$\begin{matrix} F_{1} (0, c) \\ F_{2} (0, - c) \end{matrix}$	$\begin{matrix} V_{1} (0, a) \\ V_{2} (0, - a) \end{matrix}$	$\begin{matrix} (b, 0) \\ (- b, 0) \end{matrix}$	$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

ملاحظات:

دائماً $a, b, c > 0, c > a, b$
طول المحور الحقيقي $2 a =$ (العدد الثابت).
طول المحور التخيلي $2 b =$ (المحور المرافق).
المسافة بين البؤرتين $2 c =$ (البعد البؤري).
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} > 1$
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
إذا كانت إشارة الـ $(x^{2})$ موجبة فالقطع الزائد بؤرتاه سينيتان.
إذا كانت إشارة الـ $(y^{2})$ موجبة فالقطع الزائد بؤرتاه صاديتان.

(1)- عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

$\begin{aligned} ∵ a^{2} = 64 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow 2 a = 16 (وحدة) . . . . (الحقيقي المحور طول) \\ ∵ b^{2} = 36 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow 2 b = 12 (وحدة) . . . . (المرافق المحور طول) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 64 + 36 \Rightarrow c^{2} = 100 \Rightarrow c = 10 \\ V_{1} (8, 0), V_{2} (- 8, 0) (الزائد القطع رأسا) \\ P_{1} (0, 6), P_{2} (0, - 6) (الزائد القطع قطبا) \\ F_{1} (10, 0), F_{2} (- 10, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \end{aligned}$

الشكل

(2)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وطول محوره المرافق $(4)$ وحدات وبؤرتاه هما النقطتان. $F_{1} (0, \sqrt{8}), F_{2} (0, - \sqrt{8})$

البؤرتان تنتمي لمحور الصادات

المعادلة القياسية للقطع الزائد $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} ∵ 2 b = 4 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow b^{2} = 4 \\ c = \sqrt{8} \Rightarrow c^{2} = 8 \\ ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow a^{2} = c^{2} - b^{2} \Rightarrow a^{2} = 8 - 4 \Rightarrow a^{2} = 4 \\ \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

في هذا المثال يكون المحور الحقيقي مساوٍ للمحور المرافق ويسمى القطع الزائد القائم واختلافه المركزي ثابت هو $\sqrt{2}$ لأن النقاط الأربعة تشكل رؤوس مربع.

(3)- جد معادلة القطع الزائد اختلافه المركزي $(2)$ والمسافة بين بؤرتيه $(12)$ وبؤرتاه على محور الصادات.

البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ 2 c = 12 \Rightarrow c = 6 \\ e = \frac{c}{a} \Rightarrow a = \frac{c}{e} \Rightarrow a = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = c^{2} - a^{2} \Rightarrow b^{2} = 36 - 9 \Rightarrow b^{2} = 27 \\ \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{27} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(4)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتاه $(10, 0)$ والفرق بين طول محوره الحقيقي والتخيلي يساوي $4$

$\begin{aligned} c = 10 \Rightarrow c^{2} = 100 \\ 2 a - 2 b = 4 \Rightarrow a - b = 2 \\ a = 2 + b \dots \dots (1) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 100 = (2 + b)^{2} + b^{2} \\ 100 = 4 + 4 b + b^{2} + b^{2} \\ 100 = 4 + 4 b + 2 b^{2} \\ [2 b^{2} + 4 b - 96 = 0] \div 2 \\ b^{2} + 2 b - 48 = 0 \\ (b + 8) (b - 6) = 0 \\ b = - 8 (تهمل) \\ b = 6 \Rightarrow b^{2} = 36 \\ a = 2 + 6 = 8 \Rightarrow a^{2} = 64 \\ \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(5)- جد معادلة القطع المخروطي الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه $(0, - 6)$ وأحد رأسيه $(0, 4)$

القطع المخروطي إذا لم يذكر نوعه ولكن من علاقة $c > a$ نحصل على أنه قطع زائد.

$\begin{aligned} c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36 \\ a = 4 \Rightarrow a^{2} = 16 ∴ c > a (زائد قطع لأنه) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 36 = 16 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 36 - 16 \Rightarrow b^{2} = 20 \\ \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{20} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(6)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وأحد رأسيه بؤرة القطع المكافئ $y^{2} - 32 x = 0$ والنسبة بين البعد بين بؤرتيه إلى طول محوره المرافق كنسبة $\frac{5}{3}$

$\begin{aligned} y^{2} - 32 x = 0 (المكافئ القطع) \\ y^{2} = 32 x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 4 p = 32 \Rightarrow p = 8 \\ F_{1} (8, 0) (المكافئ القطع بؤرة) \\ V_{1}, V_{2} (الزائد للقطع) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{2 c}{2 b} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3 c = 5 b \Rightarrow c = \frac{5 b}{3} \dots \dots \dots (1) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ {(\frac{5 b}{3})}^{2} = 64 + b^{2} \\ [\frac{25 b^{2}}{9} = 64 + b^{2}] \times 9 \\ 25 b^{2} = 576 + 9 b^{2} \Rightarrow 25 b^{2} - 9 b^{2} = 576 \\ 16 b^{2} = 576 \Rightarrow b^{2} = \frac{576}{16} = 36 \Rightarrow b = 6 \\ \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(7)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان إلى محور السينات ويمر بالنقطتين. $(- 5, \frac{9}{4}), (4 \sqrt{2}, 3)$

نعوض النقطة $(4 \sqrt{2}, 3)$ في معادلة القطع الزائد $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} \frac{(4 \sqrt{2})^{2}}{a^{2}} - \frac{(3)^{2}}{b^{2}} = 1 \\ (\frac{32}{a^{2}} - \frac{9}{b^{2}} = 1) a^{2} b^{2} \\ 32 b^{2} - 9 a^{2} = a^{2} b^{2} . . . . . . . . (1) \end{aligned}$

نعوض النقطة $(- 5, \frac{9}{4})$ في معادلة القطع الزائد

$\frac{(- 5)^{2}}{a^{2}} - \frac{{(\frac{9}{4})}^{2}}{b^{2}} = 1 \begin{aligned} (\frac{25}{a^{2}} - \frac{\frac{81}{16}}{b^{2}} = 1) a^{2} b^{2} \\ 25 b^{2} - \frac{81}{16} a^{2} = a^{2} b^{2} \dots \dots \dots \dots (2) \\ 32 b^{2} - 9 a^{2} = a^{2} b^{2} \dots \dots \dots \dots (1) \end{aligned} \begin{aligned} \mp 25 b^{2} + \frac{81}{16} a^{2} = \mp a^{2} b^{2} \dots \dots . . (2) \\ [7 b^{2} - \frac{63}{16} a^{2} = 0] \times 16 \\ 112 b^{2} - 63 a^{2} = 0 \\ 63 a^{2} = 112 b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{112}{63} b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{16}{9} b^{2} \\ 32 b^{2} - 9 . \frac{16}{9} b^{2} = \frac{16}{9} b^{2} b^{2} \\ 32 b^{2} - 16 b^{2} = \frac{16}{9} b^{4} \Rightarrow 16 b^{2} = \frac{16}{9} b^{4} \Rightarrow 16 = \frac{16}{9} b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = \frac{16}{9} b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{16}{9} \times 9 = 16 \\ \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(8)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بالنقطة $(3, 0)$ والبعد بين بؤرتيه $10$ وحدات.

$\begin{aligned} a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ 2 c = 10 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 25 = 9 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 16 \Rightarrow b = 4 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(9)- جد معادلة القطع الزائد أحد بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ $y^{2} = - 40 x$ والذي يمس دليل القطع المكافئ $y^{2} + 16 x = 0$

$y^{2} = - 40 x, y^{2} = - 16 x y^{2} = - 40 x, y^{2} = - 40 x 4 p = 40 \Rightarrow p = \frac{40}{4} = 10, 4 p = 16 \Rightarrow p = \frac{10}{4} = 4 F (- 10, 0) (المكافئ القطع), x = 4, a = 4 (الدليل معادلة)$

نقطة التماس $a^{2} = 16$ للقطع الزائد $(4, 0)$

$c = 10 \Rightarrow c^{2} = 100 c = 10, F_{1} (10, 0), F_{2} (- 10, 0) (الزائد القطع بؤرتي) \begin{aligned} c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 100 = 16 + b^{2} \\ b^{2} = 100 - 16 \\ b^{2} = 84 \\ \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{84} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(10)- عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

$\begin{aligned} ∵ a^{2} = 64 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow 2 a = 2 \times 8 = 16 (وحدة) . . . . (الحقيق المحور طول) \\ ∵ b^{2} = 36 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow 2 b = 2 \times 6 = 12 (وحدة) . . . . (المرافق المحور طول) \end{aligned} \begin{aligned} c^{2} = a^{2} + b^{2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow c^{2} = 100 \Rightarrow c = 10 \\ V_{1} (8, 0), V_{2} (- 8, 0) (الزائد القطع رأسا) \\ P_{1} (0, 6), P_{2} (0, - 6) (الزائد القطع قطبا) \\ F_{1} (10, 0), F_{2} (- 10, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \end{aligned}$

(11)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه $(0, - 2 \sqrt{5})$ وطول محوره الحقيق $(8)$ وحدات.

البؤرة صادية ومعادلة القطع $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} c = 2 \sqrt{5} \Rightarrow c^{2} = 20 \\ 2 a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^{2} = 16 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 20 - 16 \Rightarrow b^{2} = 4 \\ \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

ملاحظة: إذا مر القطع الزائد بنقطة إحدى إحداثياتها (صفر)، فالنقطة تمثل إحدى رؤوسه.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

القطع الزائد