تمارين (2-1)

(1)- جد قيمة كل من:

${\log }_{10}{8}_{} , {\log }_{5}11 , \ln 20$

${\log }_{10}8=0.903090 , {\log }_{5}11=\frac{\log 11}{\log 5}=1.489896 , \ln 20=2.995732$

(2)- جد قيمة كل مما يأتي:

أ- $2{\log }_{4}58-{\log }_{7}21$

$2\log 58-{\log }_{4}21=2\frac{\log 58}{\log 4}-\frac{\log 21}{\log 7}=4.293406$

ب- ${\log }_{6}26+\log 26+\ln 26$

${\log }_{6}26+\log 26+\ln 26=\frac{\log 26}{\log 6}+\log 26+\ln 26=6.491448$

(3)- جد قيمة كل مما يأتي:

أ- $\sqrt[4]{0.0562}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{x}=(0.0562{)}^{\frac{1}{4}}\\ & \ln \mathrm{x}=\ln (0.0562{)}^{\frac{1}{4}}\\ & \ln \mathrm{x}=\frac{1}{4}[\ln (0.0562\left)\right]\\ & \ln \mathrm{x}=\frac{1}{4}[\ln (0.0562\left)\right]\\ & \mathrm{x}=0.486894\end{array}$

ب- $(11.023{)}^9$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{x}=(11.023{)}^9\\ & \ln \mathrm{x}=\ln (11.023{)}^9\\ & \ln \mathrm{x}=9\ln (11.023)\\ & \mathrm{x}=2402692909\end{array}$

(4)- حل كلاً مما يأتي:

أ- $2^{\mathrm{x}}=25$

$\begin{array}{rl}& 2^{\mathrm{x}}=5^2\\ & \ln 2^{\mathrm{x}}=\ln 5^2\\ & \mathrm{xln}2=2\ln 5\\ & \mathrm{x}=\frac{2\ln 5}{\ln 2}\\ & \mathrm{x}=\frac{2\times [1.6094]}{0.693147}\\ & \mathrm{x}=4.643856\end{array}$

ب- ${\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}+1}=10$

$\begin{array}{rl}& \ln {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}+1}=\ln 10\\ & 2\mathrm{x}+1=\ln 10\\ & 2\mathrm{x}+1-1=\ln 10-1\\ & \mathrm{x}=\frac{\ln 10-1}{2}\\ & \mathrm{x}=\frac{2.30258-1}{2}\\ & \mathrm{x}=0.651293\end{array}$

(5)- باستخدام قانون الفائدة المركبة $\mathrm{a}={\mathrm{Me}}^{\mathrm{R}\times \mathrm{N}}$ لاستثمار مليون دينار بفائدة قدرها %3.5 ولمدة (3) سنوات، جد جملة ما ستحصل عليه.

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=1000000\times {\mathrm{e}}^{0.105}\mathrm{a}=1000000\times {\mathrm{e}}^{\frac{55}{1000}\times 3}\to \\ \begin{array}{rl}& \ln \mathrm{a}=\ln 1000000+0.105\ln \mathrm{e}\\ & \ln \mathrm{a}=13.815511+0.105\\ & \ln \mathrm{a}=13.815511+0.105\\ & \mathrm{a}=1110710.610\end{array} \end{gathered}$$

(6)- جد الوسط الهندسي للأعداد: 4، 82، 90، 89، 71، 60، 88، 96، 84، 93.

$$\begin{gathered} \mathrm{M}=\sqrt[10]{93\times 84\times 96\times 88\times 60\times 71\times 89\times 90\times 82\times 4} \\ \begin{array}{rl}& \ln \mathrm{M}=\ln (93\times 84\times 96\times 88\times 60\times 71\times 89\times 90\times 82\times 4{)}^{\frac{1}{10}}\\ & \ln \mathrm{M}=\frac{1}{10}(\ln 93+\ln 84+\ln 96+\ln 88+\ln 60+\ln 71+\ln 89+\ln 90+\ln 82+\ln 4)\\ & \ln \mathrm{M}=\frac{1}{10}(41.143585)\\ & \ln \mathrm{M}=1.114359\\ & \mathrm{M}=61.212936\end{array} \end{gathered}$$

(7)- أثبت أن:

أ- $\frac{1}{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{abc}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{abc}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{abc}}=1$

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{a}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{a}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{a}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}+{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}} \\ =\frac{1}{{\displaystyle \frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{a}}{\log \mathrm{a}}+\frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}}{\log \mathrm{a}}+\frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}}{\log \mathrm{a}}}}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{a}}{\log \mathrm{b}}+\frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}}{\log \mathrm{b}}+\frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}}{{\log }_{\mathrm{b}}}}}+\frac{1}{{\displaystyle \frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{a}}{{\log }_{\mathrm{c}}}+\frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{b}}{{\log }_{\mathrm{c}}}+\frac{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}}{{\log }_{\mathrm{c}}}}} \\ ==\frac{{\displaystyle \log \mathrm{a}+\log \mathrm{b}+\log \mathrm{c}}}{\log \mathrm{a}+\log \mathrm{b}+\log \mathrm{c}}=1 \end{gathered}$$

الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر.

ب- $\log 40/9+2(2\log 5+\log 6)=5$

$\begin{array}{rl}& \log \frac{40}{9}+4\log 5+2\log 6\\ & =\log \frac{40}{9}+\log 5^4+\log 6^2\\ & =\log \frac{40}{9}\times 5^4\times 6^2=\log \frac{40}{9}\times 625\times 36\\ & =\log 100000=\log {10}^5=5\log 10=5\times 1=5\end{array}$

الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر.

(8)- أي مقدار (مقادير) يكافئ المقدار 3Log a + Log b؟

أ- $\log (\mathrm{ab}{)}^3$

لا يكافئ.

ب- $\log {\mathrm{a}}^3\mathrm{b}$

يكافئ.

ج- $\log {\mathrm{a}}^3\times \log \mathrm{b}$

لا يكافئ.

د- $\log {\mathrm{a}}^3+\log \mathrm{b}$

يكافئ.

(9)- أختر الإجابة الصحيحة إذا علمت أن Log a × b هي:

أ- $\log \mathrm{a}\times \log \mathrm{b}$

ب- $\mathbf{log}\mathbf{}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{log}\mathbf{}\mathbf{b}$

ج- $\log (\mathrm{a}+\mathrm{b})$

د- ليس أي منها.