تمارين (3-8)

(1)- صندوق يحتوي ثلاث كرات بيضاء مرقمة بالأرقام من 1، 2، 3 وكرتين سوداويتين مرقمتين 1، 2 إذا علمت أن الكرات متماثلة بالحجم سحبت كرة واحدة جد احتمال:

أ- الكرة سوداء.

ليكن الحدث A يمثل سحب كرة سوداء.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^2}{{\mathrm{C}}_1^5}=\frac{2}{5}$

ب- الكرة بيضاء.

ليكن الحدث B يمثل سحب كرة بيضاء.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^3}{{\mathrm{C}}_1^5}=\frac{3}{5}$

لاحظ

$\mathrm{P}\left(\mathrm{S}\right)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=\frac{5}{5}=1$

ج- الكرة بيضاء وتحمل رقم فردي.

ليكن الحدث C يمثل سحب كرة فردية بيضاء.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^2}{{\mathrm{C}}_1^5}=\frac{2}{5}\\ & \mathrm{P}\left({\mathrm{B}}_{\mathrm{C}}\right)=\frac{3}{5}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{25}\end{array}$

(2)- رمیت حجرین متمایزين من أحجار النرد:

أ- ما هو احتمال العددين الظاهرين مجموعهما 6.

$\begin{array}{rl}\mathrm{A}=& \left\{\right(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3\left)\right\}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{5}{36}\end{array}$

ب- ما هو احتمال الحصول على مجموع 7 أو مجموع 11.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{B}=\left\{\right(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3\left)\right\}\\ & \mathrm{C}=\left\{\right(5,6),(6,5\left)\right\}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\end{array} \\ \mathrm{B}\cap \mathrm{C}=\mathrm{\varnothing } \\ \mathrm{P}(\mathrm{B}\cup \mathrm{C})=\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)=\frac{6}{36}+\frac{2}{36}=\frac{8}{36}=\frac{2}{9} \end{gathered}$$

(3)- صندوقان يحتوي كل منهما على 6 كرات بيضاء و4 حمراء، جد نسبة احتمال سحب 3 كرات بيضاء من الصندوق الأول، وسحب كرتين بيضاويتين وكرة حمراء من الصندوق الثاني.

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_3^6}{{\mathrm{C}}^{10}}=\frac{6\times 5\times 4}{2\times 2\times 1}÷\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times \frac{3\times 2\times 1}{10\times 9\times 8}=\frac{6\times 6\times 4}{10\times 9\times 8}=\frac{1}{6} \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_2^6\times {\mathrm{C}}_1^4}{{\mathrm{C}}_3^{10}}=\frac{\frac{6\times 5}{2\times 1}\times 4}{{\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}}^{}}=\frac{60}{120}=\frac{6}{12}=\frac{1}{12} \\ \mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\times \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{12} \end{gathered}$$

(4)- لدينا 5 بطاقات مرقمة من 1 إلى 5 سحبت بطاقة واحدة جد نسبة احتمال البطاقة لا تحمل رقم 3.

احتمال سحب البطاقة رقم 3

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{1}{5}$

احتمال لا تحمل رقم 3

$\mathrm{P}\left({\mathrm{B}}_{\mathrm{c}}\right)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

(5)- كيس يحتوي على 20 كرة متجانسة في جميع عناصرها مرقمة من 1 ... 20 سحبت كرة واحدة، جد:

أ- احتمال العدد الذي تحمله الكرة عدداً أصغر من 9.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

ب- احتمال العدد الذي تحمله الكرة عددا أكبر من 5.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

(6)- صندوق يحتوي على 21 قرص مرقم من 1 ... 21 سحب قرصان جد نسبة احتمال:

أ- القرصان زوجيان.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_2^{10}}{{\mathrm{C}}_2^{20}}=\frac{10\times 9}{20\times 19}=\frac{9}{38}$

ب- الأول زوجي والآخر فردي.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^{10}}{{\mathrm{C}}_1^{20}}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^{10}}{{\mathrm{C}}_1^{19}}=\frac{10}{19}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{P}(\mathrm{B}\cap \mathrm{C})=\frac{1}{2}\times \frac{10}{19}=\frac{5}{19}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^{10}}{{\mathrm{C}}_1^{21}}=\frac{10}{21} , \mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^{10}}{{\mathrm{C}}_1^{20}}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\to \frac{1}{2}\times \frac{10}{21}=\frac{10}{42}\end{array} \end{gathered}$$

(7)- لدينا 50 بطاقة مرقمة من 1 ... 50 جد احتمال العدد على البطاقة المسحوبة:

أ- يقبل القسمة على 5.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{A}=\{5,10,15,20,25,30,35,40,45,50\}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{A}\right)}{\mathrm{n}\left(\mathrm{S}\right)}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\end{array}$

ب- يقبل القسمة على 7.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{B}=\{7,14,21,28,35,42,49\}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{B}\right)}{\mathrm{n}\left(\mathrm{S}\right)}=\frac{7}{50}\end{array}$

ج- يقبل القسمة على 5 أو 7.

$\begin{array}{rl}\mathrm{P}(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})& =\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\\ & =\frac{10}{50}+\frac{7}{50}-\frac{1}{50}=\frac{16}{50}=\frac{8}{25}\end{array}$

(8)- يراد اختيار لجنة طلابية تتكون من ثلاث أشخاص بین 12 طالب و4 طالبات، ما احتمال كل مما يأتي:

أ- أن تكون اللجنة جميعها طلاب.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_3^{12}}{{\mathrm{C}}_3^{16}}=\frac{12\times 11\times 10}{16\times 15\times 14}=\frac{11}{28}$

ب- أن يكون في اللجنة طالب واحد فقط.

$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{{\mathrm{C}}_1^{12}\times {\mathrm{C}}_2^4}{{\mathrm{C}}_3^{16}}=\frac{12\times \frac{4\times 3}{2\times 1}}{\frac{16\times 15\times 14}{3\times 2\times 1}}=\frac{6^{}\times 4\times 3}{16\times 5\times 7}=\frac{9}{70}$

(9)- رميت حجري نرد متمايزين مرة واحدة ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين 9 أو يساوي 11.

$\mathrm{n}\left(\mathrm{S}\right)=6^2=6\times 6=36$

ليكن حدث A مجموع العددين الظاهرين 9

$\begin{array}{rl}& \mathrm{A}=\left\{\right(3,6),(6,3),(4,5),(5,4\left)\right\}\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\end{array}$

ليكن حدث B مجموع العددين الظاهرين 11

$\begin{array}{rl}& \mathrm{B}=\left\{\right(5,6),(6,5)\\ & \mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}\end{array}$

$$\begin{gathered} \text{A∩B=∅} \\ \begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)\\ & =\frac{4}{36}+\frac{2}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\end{array} \end{gathered}$$