تمارين (3-2)

(1)- أي العبارات الآتية صحيحة وأيها خاطئة:

1. إذا كان r أساس المتتابعة الهندسية <U_n> فإن U₅=r²U_{3 (صح)}
2. أساس المتتابعة الهندسية <...,1-,1,1-,1> هو (1). (خطأ)
3. إذا كانت $⟨32,\mathrm{b},2,-1/2,\dots ⟩$ متتابعة هندسية فإن 8-=b _(صح)
4. إذا كان أساس المتتابعة الهندسية موجباً فإن جميع حدودها موجبة. (خطأ)
5. إذا كانت <16,x,4> متتابعة هندسية فإن 8-=x (خطأ)
6. إذا كانت $<a_1,a_2,a_3,a_4,\dots >$ متتابعة هندسية فإن: ${\mathrm{a}}_1/{\mathrm{a}}_2={\mathrm{a}}_3/{\mathrm{a}}_4$ (خطأ)
7. إذا كان ${\mathrm{U}}_{\mathrm{n}}=3{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}-1}$ حد من حدود متتابعة هندسية فان أساسها = 3. (خطأ)

(2)- اكتب الحدود الخمسة الأولى لكل من المتتابعات الهندسية الآتية التي فيها:

أ- $\mathrm{r}=1/3 , \mathrm{a}=81$

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{a}}_1=81 ,\hspace{0.17em}{\mathrm{a}}_2=81\times \frac{1}{3}=27\hspace{0.17em}, {\mathrm{a}}_3=27\times \frac{1}{3}=9\\ & {\mathrm{a}}_4=9\times \frac{1}{3}=3 ,\hspace{0.17em}{\mathrm{a}}_5=3\times \frac{1}{3}=1\end{array}$

ب- $\mathrm{r}=-2 , \mathrm{a}=1/32$

$\begin{array}{rl}& a_1=\frac{1}{32} , a_2=\frac{1}{32}\times -2=\frac{-1}{16} , a_3=\frac{-1}{16}\times -2=\frac{1}{8}\\ & a_4=\frac{1}{8} , -2=\frac{-1}{4} , a_6=\frac{-1}{4}\times -2=\frac{1}{2}\end{array}$

ج- $\mathrm{r}=-2/3 , \mathrm{a}=27$

$⟨27,-18,12,-8,\frac{16}{3},\dots \dots ⟩$

د- ${\mathrm{U}}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{2}{\mathrm{U}}_{\mathrm{n}} , \mathrm{a}=-8$

هـ- $\mathrm{r}=2 , \mathrm{a}=2$

$⟨2,48,16,32,\dots ..⟩$

(3)- جد الحد الثامن من المتتابعة الهندسية <... ,2,1,1/2>

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}=2 , \mathrm{r}=\frac{{\mathrm{a}}_2}{{\mathrm{a}}_1}=\frac{1}{2} , \mathrm{n}=8 , {\mathrm{u}}_3={\mathrm{ar}}^7\\ & {\mathrm{u}}_{\mathrm{a}}=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^7\to {\mathrm{u}}_8=\frac{2}{2^7}=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}\end{array}$

(4)- متتابعة هندسية حدها الرابع = 8- وحدها السابع = 64- فما حدها الأول وما أساسها؟

$\begin{array}{rl}& u_4=a{r}^3 , u_7=a{r}^6\\ & -64=a{r}^6\\ & \begin{array}{rl}-8& =a{r}^3\end{array}\\ & \begin{array}{rl}& 8=r^3\\ & 2^3=r^3\end{array}\\ & 2=r\\ & -64=a{r}^6\\ & -64=a(2{)}^6\\ & -64=64a\\ & a=\frac{-64}{64}=-1\end{array}$

(5)- أدخل 9 أعداد بين 96 , 3 بحيث تكون مع هذين العددين متتابعة هندسية.

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=3 , \mathrm{n}=9+2=11 , {\mathrm{u}}_{11}=96 \\ 96={\mathrm{ar}}^{10}\to 96=3{\mathrm{r}}^{10}\to {\mathrm{r}}^{10}=32{\to }^{10}\to 9+2=11 , {\mathrm{u}}_{11}=96 \\ {\mathrm{r}}^{10}=2^5\to {\mathrm{r}}^2=2\to \mathrm{r}=\mp \sqrt{2} \end{gathered}$$

المتتابعة الأولى:

$\mathrm{r}=\sqrt{2}⟨3,3\sqrt{2},6,6\sqrt{2},12,12\sqrt{2}\dots \dots ,96⟩$

المتتابعة الثانية:

$r=-\sqrt{2}⟨3,-3\sqrt{2},6,-6\sqrt{2},12,-12\sqrt{2},\dots \dots \dots ,96⟩$

(6)- مجموع الحدين الأول والثاني من متتابعة هندسية = 32- ومجموع حديها الرابع والخامس = 4- فما حدها السابع؟

$\begin{array}{rl}{a}_1=a , & a_2=ar\\ a_4=a{r}^3& ,\hspace{0.17em}{a}_5=a{r}^4\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}+\mathrm{ar}=-32\to \mathrm{a}(1+\mathrm{r})=-32\\ & {\mathrm{ar}}^3+{\mathrm{ar}}^4=-4\to {\mathrm{ar}}^3(1+\mathrm{r})=-4\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{a}(1+\mathrm{r})}{\mathrm{ar}(1+\mathrm{r})}=\frac{-32}{-4}\to \frac{1}{3^3}=8\to 8{\mathrm{r}}^3=1\to {\mathrm{r}}^3=\frac{1}{8}\\ & {\mathrm{r}}^3=\frac{1}{2^3}\to {\mathrm{r}}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{j}}\to \mathrm{r}=\frac{1}{2}\\ & \mathrm{a}(1+\mathrm{r})=-32\to \mathrm{a}(1+\frac{1}{2})=-32\to \mathrm{a}\left(1\frac{1}{2}\right)=-32\\ & \to \mathrm{a}\times \frac{3}{2}=-32\to \mathrm{a}=\frac{2}{3}\times -32=\frac{-64}{3}\\ & {\mathrm{a}}_7={\mathrm{ar}}^6\to {\mathrm{a}}_7=\frac{-64}{3}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{-{64}^{}}{3\times 64}=-\frac{1}{3}\end{array}$

(7)- اكتب المتتابعة الهندسية التي مجموع الحدود الستة الأولى منها 504 وأساسها = 2.

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{1-\mathrm{r}}\to 504=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^6)}{1-\mathrm{r}}\to 504=\frac{\mathrm{a}(1-2^6)}{1-2}\to 504=\frac{\mathrm{a}(1-64)}{1-2}\to 504=\frac{-63\mathrm{a}}{-1}\to 504=63\mathrm{a}\\ & \Rightarrow \mathrm{a}=\frac{504}{63}=8<8,16,32,64,128,256>\end{array}$

(8)- إذا كان مجموع متتابعة هندسية أساسها = 3 هو 728 وحدها الأخير هو 486 جد حدها الأول وعدد حدودها.

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_{\mathrm{a}}={\mathrm{ar}}^{\mathrm{n}-1}\\ & 486=\mathrm{a}{3}^{\mathrm{n}-1}\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}(1-{\mathrm{r}}^{\mathrm{n}})}{1-\mathrm{r}}\\ & 728=\frac{\mathrm{a}(1-3^{\mathrm{n}})}{1-3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 486=\mathrm{a}{3}^{\mathrm{n}-1}\to 486=\mathrm{a}\times 3^{\mathrm{n}}\times 3^1\to 486=\frac{\mathrm{a}\times 3^{\mathrm{n}}}{3}+\mathrm{a}\times 3^{\mathrm{n}}=3\times 486\to \mathrm{a}\times 3^{\mathrm{n}}=1458\\ & \to \mathrm{a}=\frac{1458}{3^{\mathrm{n}}}\dots ...\left(3\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 728\times -2=\mathrm{a}(1-3^{\mathrm{n}})\to \mathrm{a}(1-3^{\mathrm{n}})=-1456\\ & \to \frac{1458}{3^{\mathrm{n}}}(1-3^{\mathrm{n}})=-1456\\ & \frac{1458}{3^{\mathrm{n}}}-1458=-1456\\ & \frac{1458}{3^{\mathrm{n}}}=1458-1456\end{array}$

$\frac{1458}{3^{\mathrm{n}}}=2\to 2\times 3^{\mathrm{n}}=1458\to 3^{\mathrm{n}}=\frac{1458}{2}\to 3^{\mathrm{n}}=729\Rightarrow 3^{\mathrm{n}}=3^6\to \mathrm{n}=6$

نعوض n ب 6

$\begin{array}{c}\mathrm{a}=\frac{1458}{3^6}=\frac{1458}{3^2\cdot 3^2\cdot 3^2}=\frac{1458}{9.9.9}=\frac{1458}{81\times 9}=\frac{1458}{729}=2\\ \mathrm{a}=2 , \mathrm{n}=6 , \mathrm{r}=3\end{array}$

$$\begin{gathered} ⟨2,6,18,54,162,486> \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=2+6+18+54+162+486=728 \end{gathered}$$

(9)- متتابعة هندسية موجبة الحدود حاصل ضرب حدودها الثلاثة الأولى 1/27 ومجموع حدودها الثاني والثالث والرابع 13/27 أوجد المتتابعة؟ ثم جد مجموعها إلى مالانهاية؟

$\begin{array}{rl}& <1,1/3,1/9,1/272>\\ & S_{\mathrm{\infty }}=3/2\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}\times \mathrm{ar}\times {\mathrm{ar}}^2=\frac{1}{27}\dots \dots .\left(1\right)\\ & \mathrm{ar}+{\mathrm{ar}}^2+{\mathrm{ar}}^3=\frac{13}{27}\dots \dots .\left(2\right)\end{array}$

$\begin{array}{r}\mathrm{a}\times \mathrm{ar}\times {\mathrm{ar}}^2=\frac{1}{27}\to 27{\mathrm{a}}^3{\mathrm{r}}^3=1\\ \to {\mathrm{a}}^3=\frac{1}{27{\mathrm{r}}^3}\to \mathrm{a}=\frac{1}{3\mathrm{r}}\dots \dots \left(3\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{ar}+{\mathrm{ar}}^2+{\mathrm{ar}}^3=\frac{13}{27}\to \frac{1}{3\mathrm{r}}\times \mathrm{r}+\frac{1}{3\mathrm{r}}{\mathrm{r}}^2+\frac{1}{3\mathrm{r}}{\mathrm{r}}^3=\frac{13}{27}\\ & \to (\frac{1}{3}+\frac{\mathrm{r}}{3}+\frac{{\mathrm{r}}^2}{3}=\frac{13}{27})\times 3\to 1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2=\frac{13}{9}\\ & \to 9{\mathrm{r}}^2+9\mathrm{r}+9=13\to 9{\mathrm{r}}^2+9\mathrm{r}+9-13=0\Rightarrow 9{\mathrm{r}}^2-9\mathrm{r}-4=0\\ & \to (3\mathrm{r}+4)(3\mathrm{r}-1)=0\to 3\mathrm{r}+4=0\to 3\mathrm{r}=-4\to \mathrm{r}=\frac{-4}{3}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& 3\mathrm{r}-1=0\Rightarrow 3\mathrm{r}=1\to \mathrm{r}=\frac{1}{3}\\ & \mathrm{a}=\frac{1}{3\mathrm{r}}\to \mathrm{a}=\frac{1}{3\times \frac{1}{3}}=1\\ & <1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27}>\\ & {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1\times \frac{3}{2}=\frac{3}{2}\end{array}$

(10)- ثلاثة اعداد مكونة متتابعة حسابية مجموعها (18) ولو أضيفت الأعداد 1،2،7 إلى حدودها على الترتيب لتألف من الأعداد الناتجة متتابعة هندسية فما هذه الأعداد؟

نفرض أن الأعداد المؤلفة للمتتابعة الحسابية هي $\mathrm{a} , \mathrm{a}+\mathrm{d} , \mathrm{a}+2\mathrm{d}$

$\begin{array}{rl}& [\mathrm{a}+\mathrm{a}+\mathrm{d}+\mathrm{a}+2\mathrm{d}]=18\\ & [3\mathrm{a}+3\mathrm{d}]=18\\ & [\mathrm{a}+\mathrm{d}]=6\\ & \mathrm{A}=6-\mathrm{d}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{a}+\mathrm{d}+2}{\mathrm{a}+1}=\frac{\mathrm{a}+2\mathrm{d}+7}{\mathrm{a}+\mathrm{d}+2}\dots \dots \left(2\right)\\ & \frac{6-\mathrm{d}+\mathrm{d}+2}{6-\mathrm{d}+1}=\frac{6-\mathrm{d}+2\mathrm{d}+7}{6-\mathrm{d}+\mathrm{d}+2}\\ & \frac{8}{7+1}=\frac{13+\mathrm{d}}{8}\\ & \frac{13+\mathrm{d}}{8}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& (7-\mathrm{d})(13+\mathrm{d})=64\\ & 91+7\mathrm{d}-13\mathrm{d}-{\mathrm{d}}^2-64=0\\ & {\mathrm{d}}^2+6\mathrm{d}-27=0\\ & (\mathrm{d}+9)(\mathrm{d}-3)=0\\ & \text{eiter }\mathrm{d}+9=0\Rightarrow \mathrm{d}=-9⟶\mathrm{a}=6+9=15\\ & \text{or }\mathrm{d}-3=0\to \mathrm{d}=3⟶\mathrm{a}=6-3=3\end{array}$

(11)- متتابعة حسابية حدها الأول (3) فإذا كان حدهـا الثاني والرابع والثامن تؤلف متتابعة هندسية، أوجد المتتابعة الحسابية.

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{u}}_1=\mathrm{a}=3\\ & {\mathrm{u}}_2=3+\mathrm{d}\\ & {\mathrm{u}}_4=3+3\mathrm{d}\\ & {\mathrm{u}}_8=3+7\mathrm{d}\end{array}$

المتتابعة الحسابية:

$\begin{array}{rl}& \frac{3+3\mathrm{d}}{3+\mathrm{d}}=\frac{3+7\mathrm{d}}{3+3\mathrm{d}}\\ & (3+3\mathrm{d})(3+3\mathrm{d})=(3+\mathrm{d})(3+7\mathrm{d})\\ & 9+9\mathrm{d}+9\mathrm{d}+9{\mathrm{d}}^2=9+21\mathrm{d}+3\mathrm{d}+7{\mathrm{d}}^2\\ & 9{\mathrm{d}}^2+18\mathrm{d}+9=7{\mathrm{d}}^2+24\mathrm{d}+9\\ & [2{\mathrm{d}}^2-6\mathrm{d}=0]÷2\\ & {\mathrm{d}}^2-3\mathrm{d}=0\\ & \mathrm{d}(\mathrm{d}-3)=0\\ & \text{either }\mathrm{d}=0\text{OR}\mathrm{d}=3\end{array}$

(12)- إذا كان مجموع ثلاثة أعداد تؤلف متتابعة هندسية يساوي (70) فإذا ضربنا كل من حدها الأول والثالث في (4) وحدها الثاني في (5) كانت الأعداد الناتجة تؤلف متتابعة حسابية فما هذه الأعداد؟

نفرض أن الأعداد هي: $\mathrm{a} , \mathrm{ar} , {\mathrm{ar}}^2$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{a}+\mathrm{ar}+{\mathrm{ar}}^2=70\\ & \mathrm{a}(1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2)=70\\ & \mathrm{a}=\frac{70}{1+\mathrm{r}+{\mathrm{r}}^2}\dots \dots .\left(1\right)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \text{either }\mathrm{a}=0\\ & \text{Or}2{\mathrm{r}}^2-5\mathrm{r}+2=0\\ & (2\mathrm{r}-1)(\mathrm{r}-2)=0\\ & 2\mathrm{r}-1=0\to 2\mathrm{r}=1\to \mathrm{r}=\frac{1}{2}\\ & \mathrm{r}-2=0\to \mathrm{r}=2\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathrm{a}=\frac{70}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\frac{70}{\frac{7}{4}}=70\times \frac{4}{7}=40\mathrm{r}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{a}=\frac{70}{1+2+4}=\frac{70}{7}=10\mathrm{r}=2 \end{gathered}$$