تمارين (2-1)

(1)- جد قيمة كل من:

أ- ${\log }_{10}8$

0.903090

ب- ${\log }_{3}15$

2.464974

ج- $\ln 200$

5.298317

(2)- جد قيمة كل مما يأتي:

أ- ${\log }_{2}52-\log 27$

4.259076

ب- $\log 33+{\log }_{8}33+\ln 33$

6.696486

(3)- جد قيمة كل مما يأتي:

أ- $\sqrt[3]{(65.26{)}^2}$

16.209317

ب- $(1.02{)}^{10}$

1.21899

(4)- حل كلاً من المعادلات الآتية:

أ- $3^{\mathrm{x}}=26$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \ln 3^x=\ln 26\\ & x\ln 3=\ln 26\Rightarrow x=\frac{\ln 26}{\ln 3}\end{array} \\ =2.965647 \end{gathered}$$

ب- ${\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}+1}=17$

$$\begin{gathered} {\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}+1}=17\to \ln {\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}+1}=\ln 17\to 3\mathrm{x}+1=\ln 17 \\ \to 3\mathrm{x}=\ln 17-1\to \mathrm{x}=\frac{\ln 17-1}{3}=0.611071 \end{gathered}$$

ج- $\left(5\right)\left(2^{\mathrm{x}}\right)=4^{1-\mathrm{x}}$

$\begin{array}{rl}& \left(5\right)\left(2^{\mathrm{x}}\right)=4\to \left(5\right)\left(2^{\mathrm{x}}\right)=2^{2(1-\mathrm{x})}\to \left(5\right)\left(2^{\mathrm{x}}\right)=2^{2-2\mathrm{x}}\\ & \to \left(5\right)\left(2^{\mathrm{x}}\right)=\frac{2^2}{2^{2\mathrm{x}}}\to \left(5\right)\left(2^{\mathrm{x}}\right)\left(2^{2\mathrm{x}}\right)=\left(4\right)\\ & \to 2^{3\mathrm{x}}=\frac{4}{5}\to 2^{3\mathrm{x}}=0.8\to \ln 2^{3\mathrm{x}}=\ln 0.8\\ & 3\mathrm{xln}2=\ln 0.8\to \mathrm{xln}{2}^3=\ln 0.8\\ & \mathrm{xln}8=\ln 0.8\to \mathrm{x}=\frac{\ln 0.8}{\ln 8}\\ & \mathrm{x}=0.107309\end{array}$

(5)- جد الوسط الهندسي للأعداد الآتية:

10,11,12,13,14,15

$$\begin{gathered} \sqrt[\mathrm{n}]{\left({\mathrm{x}}_1\right)\left({\mathrm{x}}_2\right)\left({\mathrm{x}}_3\right)\dots \left({\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}\right)} \\ \mathrm{M}=\sqrt[4]{10\times 11\times 12\times 13\times 14\times 15}=43.569657=43.5696\simeq 43.57 \end{gathered}$$

(6)- أثبت أن:

أ- $\frac{1}{{\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{abc}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{abc}}+\frac{1}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{abc}}=1$

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\text{Logabc}}+\frac{1}{\text{Loga}\mathrm{abc}}+\frac{1}{\log \mathrm{b}}+\frac{\log \mathrm{abc}}{\log \mathrm{c}}\{\log \mathrm{abc}=\frac{\mathrm{Inabc}}{\mathrm{In}\mathrm{a}}\}\\ & =\frac{{\log }_{\mathrm{a}}}{{\log }_{\mathrm{abc}}}+\frac{{\log }_{\mathrm{b}}}{\log \mathrm{abc}}+\frac{{\log }_{\mathrm{c}}}{\log \mathrm{abc}}=\frac{{\log }_0+{\log }_0+{\log }_{\mathrm{c}}}{\log \mathrm{abc}}\\ & =\frac{\log \mathrm{abc}}{\log \mathrm{abc}}=1=\mathrm{R}.\mathrm{S}\end{array}$

ب- $\log \frac{40}{9}+2(2\log 5+\log 6)=5$

$\begin{array}{rl}& \log \frac{40}{9}+4\log 5+2\log 6\\ & =\log \frac{40}{9}+\log 5^4+\log 6^2\\ & =\log \frac{40}{9}\times 625\times 36=\log 40\times 2500\\ & =\log 100000=\log {10}^5=5\end{array}$

الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر.

(7)- إذا كان $\mathrm{a}={\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b} , \mathrm{b}={\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}$ فإن ${\log }_5\mathrm{a}=\frac{1}{\mathrm{ab}}$:

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{\mathrm{ab}}=\frac{1}{{\log }_{\mathrm{c}}\mathrm{b}\times {\log }_{\mathrm{a}}\mathrm{c}}=\frac{1}{\frac{\log \mathrm{b}}{\log \mathrm{c}}\cdot \frac{\log \mathrm{c}}{\log \mathrm{a}}}=\frac{\text{Loga}}{\log \mathrm{b}}\\ & {\log }_{\mathrm{b}}\mathrm{a}=\frac{\text{Loga}}{10\mathrm{anh}}\end{array}$

الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر.

(8)- تركيز أيون الهيدروجين [⁺H] في اللبن هو ^7-10×2.5 فجد الرقم الهيدروجيني له.

$\begin{array}{rl}\mathrm{PH}& =-\log \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]\\ & =-\log 2.5\times {10}^{-7}\\ & =-[\log 2.5+(-7\log 10\left)\right]\\ & =-[\log 2.5-7]\\ & =7-\log 2.5=6.602060\end{array}$

(9)- باستخدام قانون الفائدة المركبة R =me^n.r لاستثمار مليون دينار بفائدة قدرها %2.5 ولمدة (6) سنوات، جد جملة ما سيحصل عليه.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{R}=1,000,000\times {\mathrm{e}}^{\frac{25}{1000}\times 6}\\ & \mathrm{R}=1,000,000\times {\mathrm{e}}^{\frac{150}{1000}}\\ & \mathrm{R}=1,000,000\times {\mathrm{e}}^{\frac{3}{20}}\\ & \mathrm{LnR}=\ln 1,000,000+\frac{3}{20}\\ & =13.965511\\ & =1161834.243\\ & \text{=1161834 dinnar}\end{array}$

(10)- جد سرعة صاروخ نسبة كتلته نحو 10، وسرعة انطلاق بخاره قدرها 3.5 كم/ثا، وزمن اشتعال المحرك 50 ثانية.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{S}=-0.0098\mathrm{n}+\mathrm{VLnk}\\ & \mathrm{S}=-0.0098\times 50+3.5\mathrm{Ln}10\\ & \mathrm{S}=7.569048\mathrm{km}/\sec \end{array}$

(11)- أي مقدار (مقادير) يكافئ المقدار 2Log a - Log b؟

1) $\log {\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)}^2$

2) $\mathbf{log}\mathbf{}\frac{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{b}}$

3) $\log (\mathrm{ab}{)}^2$

4) $\mathbf{log}\mathbf{}{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{log}\mathbf{}\mathbf{b}$

$2\log \mathrm{a}-\log \mathrm{b}=\log {\mathrm{a}}^2-\log \mathrm{b}=\log \frac{{\mathrm{a}}^2}{\mathrm{b}}$

المقدارين 2 و4 يكافئ المقدار المعطى.

(12)- في سنة 1997 حدثت هزة أرضية في إحدى المدن العالمية بدرجة 4.9 والمصنف على مقياس رختر، وحدثت هزة أخرى في مدينة أخرى سنة 1999 بمقدار 7.0، قارن بين الطاقة المنطلقة من هاتين الهزتين.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{R}=\frac{\mathrm{E}\cdot {30}^{7.0}}{\mathrm{E}\cdot {30}^{4.9}}=\frac{{30}^{7.0}}{{30}^{4.9}}\\ & \mathrm{R}={30}^{7.0-4.9}={30}^{2.1}\\ & \log \mathrm{R}=2.1\log 30\\ & \mathrm{R}=104\end{array}$

(13)- اختر الإجابة الصحيحة للمقدار Log a/b

• Log a/Log b
• Log a - Log b
• Log (a - b)
• ليس أي منها.

حسب القواعد اللوغاريتمية التسلسل 2 هو الحل الصحيح.