تمرينات (4 - 2)

(1)-

إذا كان $\begin{array}{rl}& A=[-2,5)\end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{B}=\{\mathrm{X}:\mathrm{X}\ge 1\}\end{array}$

جد$A\cup B,A\cap B,A-B\cdot B-A$

$\begin{array}{rl}\mathbf{A}\mathbf{\cup }\mathbf{B}& \mathbf{=}\mathbf{\{}\mathbf{x}\mathbf{:}\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\}}\mathbf{,}\mathbf{A}\mathbf{\cap }\mathbf{B}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{)}\\ \mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{B}& \mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{B}\mathbf{-}\mathbf{A}\mathbf{=}\mathbf{\{}\mathbf{x}\mathbf{:}\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{5}\mathbf{\}}\end{array}$

(2)-

أ) ارسم الدالة $\mathrm{Y}=|\mathrm{X}+2|-5$

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{|}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{=}\left\{\begin{array}{ll}x+2-5& \forall x\ge -2\\ -(x+2)-5& \forall x<-2\end{array}\right\}$

$\mathit{y}\mathbf{=}\left\{\begin{array}{ll}x-3& \forall x\ge -2\dots \dots ...L_1\\ -x-7& \forall x<-2\dots \dots ..L_2\end{array}\right\}$

ب) $y=3-|x+1|$

أما: $\mathit{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{1}$

$\begin{array}{r}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\\ \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{x}\end{array}$

(3)-

أ) $|4X+3|=1$

$\mathbf{|}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{|}\mathbf{=}\left\{\begin{array}{ll}4x+3=1& \forall x\ge \frac{-3}{4}\\ -(4x+3)=1& \forall x<\frac{-3}{4}\end{array}\right\}$

هذه المعادلة تكافئ النظام:

$\mathbf{=}\left\{\begin{array}{ll}4x+3=1& \forall x\ge \frac{-3}{4}\\ 4x+3=-1& \forall x<\frac{-3}{4}\end{array}\right\}$

$\mathbf{=}\mathbf{\left\{}\begin{array}{l}\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{4}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\in }\mathbf{التعويض}\mathbf{ }\mathbf{لمجموعة}\\ \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\in }\mathbf{التعويض}\mathbf{ }\mathbf{لمجموعة}\end{array}\mathbf{\right\}}$

$\mathit{S}\mathbf{=}{\mathit{S}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\cup }{\mathit{S}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\left\{-\frac{1}{2},-1\right\}$

التحقيق: $\begin{array}{rl}\mathbf{|}\mathbf{4}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{|}& \mathbf{=}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{|}\\ & \mathbf{=}\mathbf{\left|}\mathbf{1}\mathbf{\right|}\\ & \mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{\in }\mathbf{R}\end{array}$

$\mathit{و}\mathit{أ}\mathbf{\left|}\mathbf{4}\mathbf{\right(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{|}\mathbf{=}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{|}\mathbf{=}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{|}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{\in }\mathit{R}$

قيمة X تحقق الحل.

ويمكن حلها بطريقة أخرى كما وردت في الأمثلة.

ب) $\mathrm{X}\left|\mathrm{X}\right|+4=0$

$\mathit{x}\mathbf{\left|}\mathit{x}\mathbf{\right|}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\left\{\begin{array}{ll}x\cdot x+4=0& \forall x\ge 0\\ x(-x)+11=0& \forall x<0\end{array}\right\}$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{=}\left\{\begin{array}{c}{x}^2+4=0\mathrm{ممكنغيريهمل}\\ -x^2+4=0\Rightarrow x^2=4\end{array}\right\}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{2}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\in }\mathbf{التعويض}\mathbf{لمجموعة}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{تحقق}\mathbf{لا}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{\{}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\}}\end{array}$

التحقيق:

$\begin{array}{rl}\mathbf{2}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{|}\mathbf{+}\mathbf{4}& \mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{-}\\ & \mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{تحقق}\mathbf{}\mathbf{X}\mathbf{}\mathbf{قيمة}\end{array}$

ج) ${\mathrm{X}}^2-2\left|\mathrm{X}\right|-15=0$

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left|}\mathbf{x}\mathbf{\right|}\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{\left\{}\begin{array}{ll}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{=}\mathbf{0}& \mathbf{\forall }\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{0}\\ {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{=}\mathbf{0}& \mathbf{\forall }\mathbf{x}\mathbf{<}\mathbf{0}\end{array}\mathbf{\right\}}\\ & \mathbf{=}\mathbf{\left\{}\begin{array}{ll}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0}& \mathbf{\forall }\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{0}\\ \mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0}& \mathbf{\forall }\mathbf{x}\mathbf{<}\mathbf{0}\end{array}\mathbf{\right\}}\\ & \mathbf{=}\left\{\begin{array}{c}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\text{or}}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{تحقق}\mathbf{ }\mathbf{لا}\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{0}\\ \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\text{or}}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{تحقق}\mathbf{ }\mathbf{لا}\mathbf{x}\mathbf{<}\mathbf{0}\end{array}\right\}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{\{}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\}}\end{array}$

التحقيق:

$\begin{array}{rl}\mathbf{(}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{|}\mathbf{5}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{15}& \mathbf{=}\\ \mathbf{25}\mathbf{-}\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{15}& \mathbf{=}\mathbf{0}\\ \mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{|}\mathbf{-}\mathbf{15}& \mathbf{=}\\ \mathbf{25}\mathbf{-}\mathbf{10}\mathbf{-}\mathbf{15}& \mathbf{=}\mathbf{0}\\ \mathbf{تحقق}\mathbf{}\mathbf{X}\mathbf{}\mathbf{قيمة}& \end{array}$

د) $|X^2+4|=29$

يمكن بطريقة مباشرة بالشكل:

$\begin{array}{ll}\mathbf{\text{either}}& {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{29}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{25}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{5}\\ \mathbf{\text{or}}& {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{29}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{33}\mathbf{}\mathbf{ممكن}\mathbf{}\mathbf{غير}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{\{}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{5}\mathbf{\}}\end{array}$

التحقيق:

يترك للطالب.

ه) $x|x+2|=3$

• أما: $\begin{array}{r}\mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{3}\\ {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ \mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0}\end{array}$
• لا يحقق $\begin{array}{rl}\mathbf{أما}\mathbf{}& \mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{أو}\mathbf{}& \mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\end{array}$
• أو: $\begin{array}{r}\mathbf{x}\mathbf{[}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{\left)}\mathbf{\right]}\mathbf{=}\mathbf{3}\\ \mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{3}\\ \mathbf{x}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\\ {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{=}\mathbf{0}\end{array}$
• ليس للمعادلة حل في R.
• لأن المقدار المميز (b2 - 4ac) سالب.
• S = {1}

و) $|2x+1|=x$

• أما: $\begin{array}{r}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{x}\\ \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{}\mathbf{تحقق}\mathbf{}\mathbf{لا}\end{array}$
• إذا عوضنا قيمة X في المعادلة.
• الطرف الأيمن $\mathbf{\ne }$ الطرف الأيسر.
• أو: $\begin{array}{r}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{x}\\ \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ \mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ \mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{}\mathbf{تحقق}\mathbf{}\mathbf{لا}\end{array}$
• إذا عوضنا قيمة X في المعادلة.
• الطرف الأيمن $\mathbf{\ne }$ الطرف الأيسر.
• $\mathit{S}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{\varnothing }$

(4)- جد مجموعة حل المعادلتين الآتيتين:

أ) $2X+Y=4,\mathrm{X}-\mathrm{Y}=-1$ (بيانياً):

نقطة التقاطع (2 ,1).

ب) $4X+3Y=17,2X+3Y=13$ (تحليلياً):

تحل بطريقة الحذف.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{17}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\\ & \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{13}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\end{array}$

بطرح المعادلة (1) من المعادلة (2) نحصل على:

$\begin{array}{rl}& \mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{نعوض}\\ & \mathbf{4}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{17}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{9}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{3}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{\left\{}\mathbf{\right(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{\left)}\mathbf{\right\}}\end{array}$

ج) $\mathrm{X}-\mathrm{Y}=1,5{\mathrm{X}}^2+2{\mathrm{Y}}^2=53$

تحل بطريقة التعويض.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\\ & \mathbf{5}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{53}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\end{array}$

من المعادلة (1) نحصل على x = 1 + y ثم نعوض في المعادلة (2):

$\begin{array}{rl}& \mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{y}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{53}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{5}\mathbf{(}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{+}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{53}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{5}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{53}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{7}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{10}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{48}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{(}\mathbf{7}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{24}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{0}\\ & \mathbf{7}\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{24}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{7}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{24}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{24}}{\mathbf{7}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{-}\frac{\mathbf{24}}{\mathbf{7}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{17}}{\mathbf{7}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{(}\frac{\mathbf{-}\mathbf{17}}{\mathbf{7}}\mathbf{,}\frac{\mathbf{-}\mathbf{24}}{\mathbf{7}}\mathbf{)}\\ & \mathbf{\text{or :}}\\ & \mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\left\{(\frac{-17}{7},\frac{-24}{7}),(3,2)\right\}\end{array}$

د) $2X^2-Y^2=34,3X^2+2Y^2=107$

تحل بطريقة الحذف.

$\begin{array}{rl}& \mathbf{2}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{34}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\\ & \mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{107}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\end{array}$

بضرب المعادلة الأولى ب2 نحصل على:

$\begin{array}{rl}& \mathbf{4}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{68}\\ & \mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{107}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{بالجمع}\\ & \mathbf{7}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{175}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{175}}{\mathbf{7}}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{25}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{5}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{34}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{34}\mathbf{-}\mathbf{50}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{16}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{16}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{4}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\\ & \mathbf{\text{or}}\\ & \mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}{\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{34}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{34}\mathbf{-}\mathbf{50}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{16}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{y}}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{16}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{\pm }\mathbf{4}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{\left\{}\mathbf{\right(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right(}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\left)}\mathbf{\right\}}\end{array}$

(5)-

جد مجموعة حلول كل من المتباينات الآتية:

أ) $|\mathrm{X}-6|\le 1$

$\begin{array}{c}\mathbf{|}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{|}\mathbf{\le }\mathbf{1}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{\le }\mathbf{1}\\ \mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{6}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{6}\mathbf{\le }\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{6}\\ \mathbf{5}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{7}\\ \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{5}\mathbf{,}\mathbf{7}\mathbf{]}\end{array}$

ب) $2\le |\mathrm{X}+1|\le 4$

$\begin{array}{ccr}\mathbf{2}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{\le }\mathbf{4}& \mathbf{و}\mathbf{أ}& \mathbf{2}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\le }\mathbf{4}\\ \mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\ge }\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{4}& \mathbf{و}\mathbf{أ}& \mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{4}\mathbf{-}\mathbf{1}\\ \mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{\ge }\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{-}\mathbf{5}& \mathbf{و}\mathbf{أ}& \mathbf{1}\mathbf{\le }\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{3}\\ {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{،}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{]}& \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }{\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{]}& \\ \mathbf{S}\mathbf{=}{\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\cup }{\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}& & \\ \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{،}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{]}\mathbf{\cup }\mathbf{[}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{]}& & \end{array}$

ج) $-9<|2\mathrm{X}-3|-12\le -3$

أما: $\begin{array}{r}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{<}\mathbf{-}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{<}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{<}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{0}\mathbf{<}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{6}\\ \mathbf{3}\mathbf{>}\mathbf{x}\mathbf{\ge }\mathbf{0}\\ {\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\end{array}$ أو $\begin{array}{r}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{<}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{<}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{15}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{3}\\ \mathbf{15}\mathbf{-}\mathbf{9}\mathbf{<}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{15}\\ \mathbf{6}\mathbf{<}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{12}\\ \mathbf{3}\mathbf{<}\mathbf{x}\mathbf{\le }\mathbf{6}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& {\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{]}{\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{[}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}{\mathbf{S}}_{\mathbf{1}}\mathbf{\cup }{\mathbf{S}}_{\mathbf{2}}\\ & \mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{]}\mathbf{\cup }\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{]}\end{array}$

د) $2X^2\le 8$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{2}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\le }\mathbf{8}\mathbf{\Rightarrow }{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{\le }\mathbf{4}\\ \mathbf{S}& \mathbf{=}\mathbf{\left[}\mathbf{\right[}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{]}\end{array}$

ه) $3X^2-27>0$

$\begin{array}{rl}& \mathbf{3}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{>}\mathbf{27}\\ & {\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}\mathbf{>}\mathbf{9}\\ & \mathbf{S}\mathbf{=}\mathbf{R}\mathbf{/}\mathbf{[}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{]}\end{array}$